撲克牌梭哈的機率

機率大解析
撲克牌梭哈的機率

撲克牌的梭哈玩法就是每人逐次發五張牌，最後比較五張牌的組合大小。
大家在玩梭哈或十三張時可能都有想過，為什麼同花順比柳丁（鐵枝）大？
同花比非同花順大？…等問題。
現在我們就先了解梭哈的組合，依其大小排列有以下幾種：
同花順、四大（鐵枝）、葫蘆、同花、非同花順、三條、兩對、一對等八種。

在梭哈的各種組合的機率計算式中，必須要注意是否會有重複計算的情形，
前面說過這是許多人經常會忽略的。
例如，『非同花順』的計算式中就會包括『同花順』的組合，
所以在計算式的最後必須再扣除重複計算的樣本點數。
所以在計算前要先分析各種組合會有哪些重複出現的組合在其中，所得的數據才會正確。
再強調一次，從計算機率的過程中可以訓練極佳的邏輯觀念、分析及推算能力，
大家可要用點心去學。現在就一一分析及計算每種組合個別的機率。

1.同花順（Ａ）事件：五張『連號』且『同花』的組合。
　
◎全事件總樣本點數：52C5 ＝ 2,598,960
　◎同花順樣本點數為：4C1 x (14-5+1] ＝ 40
　　　4C1 → 從四組同花的牌中選出一組。
　　　(14-5+1] → 每一組有十三張牌，五張連號的組合方式有1-5,2-6,3-7…
　　　　　　　　　10-14(A]等10種組合。公式為：(14-n+1]，n為發牌的張數。
　●Ｐ（Ａ）＝ 4C1 x (14-5+1] ／ 52C5 ＝ 1／64,974

2.四大(Ｂ)事件：四張為同數字的牌，另一張為其他任意牌的組合。
　
◎在『四大』的計算式中，不會有任何重複的組合出現。
　◎四大的樣本點數為：
　　　13C1 x 4C4 x 48C1 ＝ 624
　　　13C1 → 從十三組同數字的牌中任選出一組。
　　　 4C4 → 在這一組的四張牌中，四張全選。
　　　48C1 → 第五張牌在其他48張牌中任選一張。
　●Ｐ（Ｂ） ＝ 13C1 x 4C4 x 48C1 ／ 52C5 ＝ 1／4,165
　　　　所以獲得四大的機率比獲同花順的機率高出『15.6倍』。

3.葫蘆(Ｃ)事件：三張相同的數字(三條)，另兩張是另一種相同的數字(一對)的組合。
　
◎在『葫蘆』的計算式中，也不會有任何重複的組合出現。
　◎葫蘆的樣本點數為：
　　　13C2 x 4C3 x 4C2 = 1,872
　　　13C2 → 從13組同數字的四張牌中任選二組。
　　　4C3 → 在一組牌中任選三張。
　　　4C2 → 在另一組牌中任選二張。
　●Ｐ（Ｃ）＝ 13C2 x 4C3 x 4C2 ／ 52C5 ＝ 1／1,388
　　　　所以獲得葫蘆的機率比獲四大的機率高『３倍』，比獲得同花順的機率高『46.8\
倍』。

4.同花（Ｄ）事件：五張同花色，『但（減去）』不是順的牌。
　
◎在『同花』的計算式中，會重複出現『同花順』的組合。
　◎同花的樣本點數為：( 4C1 x 13C5 ] - 40 ＝ 5,108
　　　 4C1 → 從四組同花的牌中任選一組。
　　　13C5 → 在這組牌的13張中任選五張。
　　　 40 → 同花順的樣本點數。
　●Ｐ（Ｄ）= { ( 4C1 x 13C5 ] - 40 } ／ 52C5 ＝ 1／509
　　　　所以獲同花的機率比獲葫蘆高『2.73倍』，比獲四大高『8.19倍』，比獲
　　同花順高『127.7倍』。

5.非同花順（Ｅ）事件：五張連續的號碼，『但（相減）』不包含同花順。
　　　
非同花順的機率剛開始不知道如何算，在介紹機率的數學書中也找不到類似
　的例子，所以我就用最原始的方法，就是用一組樣本點數較少的類似事件，實際
　去排列組合，算看看各種樣本點有多少？再找出算法（公式）。
　◎在『非同花順』的計算式中，也會重複出現『同花順』的組合。
　◎非同花順的樣本點數為：10 x (4的5次方]–40＝10,200
　　　10 → 1-14 號順的組合數有 (14-5+1] ＝10種。
　　　4的5次方 → 每個數字有四種花色變換，所以五個數字的組合樣本就有
　　　　　　　　　(4x4x4x4x4]也就是『4的5次方』種。
　　　40 → 扣除的同花順的樣本點數。
　●Ｐ（Ｅ）＝ { 10 x (4的5次方 ]–40 } ／52C5 ＝ 1／255
　　　　所以獲得非同花順的機率比獲得同花高『２倍』，比獲葫蘆的機率高出
　　『5.45倍』，比獲柳丁的機率高『16.34倍』，比獲得同花順的機率高『255倍』。

6.三條（Ｆ）事件：三張牌同號碼，另兩張牌為『非同號』的任意牌。
　
◎在『三條』的計算式中，會重複出現『葫蘆』的組合。
　◎三條的樣本點數為：(13C1 x 4C3 x 48C2]–1,872＝56,784
　　　 13C1 → 13組同號的牌中任選一組。
　　　 4C3 → 在四張同號的牌中任選三張。
　　　 48C2 → 在其他不同號的48張牌中任選兩張。
　　　1,872 → 葫蘆的樣本點數。
　●Ｐ（Ｆ）＝ {( 13C1 x 4C3 x 48C2 ]–1,872 } ／52C5 ＝ 1／46
　　　　所以獲得三條的機率比獲非同花順高『5.6倍』，比獲同花的機率高出
『11.1倍』，比獲葫蘆的機率高『30.3倍』，比獲柳丁的機率高『91倍』，比獲
　　得同花順高『1,420倍』。

7.兩對（Ｇ）事件：兩張同號碼的牌二組，另一張牌為『和其他四張牌不同號』的 　　\
　　　　　　　任意牌。
　
◎在『兩對』的計算式中不會重複出現任何組合。
　◎兩對的樣本點數為：13C2 x 4C2 x 4C2 x 44C1 ＝123,552
　　　13C2 → 13張同號碼的牌任選兩組。
　　　 4C2 → 從第一組四張同號的牌中任選兩張。
　　　 4C2 → 從第二組四張同號的牌中任選兩張。
　　　44C1 → 從其他44張牌中任選一張牌。
　●Ｐ（Ｇ）＝13C2 x 4C2 x 4C2 x 44C1 ／52C5 ＝ 1／21
　　　　所以獲兩對的機率比獲三條高『2.1倍』，比獲非同花順的機率高『12.1
　　倍』，比獲同花的機率高『24.2倍』，比獲得葫蘆的機率高『66倍』，比獲柳
　　丁的機率高『198倍』，比獲得同花順的機率高『3,089倍』。

8.一對（Ｈ）事件：兩張同號碼的牌,另三張為『和其他二張牌不同號』的任意牌.
　
◎在『一對』的計算式中，會重複出現『二對』及『葫蘆』的組合。
　◎一對的樣本點數為：(13C1 x 4C2 x 48C3]–123,552–1,872＝1,223,664
　　　　 13C1 → 13張同號碼的牌任選一組。
　　　　　4C2 → 從四張同號的牌中任選兩張牌。
　　　　 48C3 → 從其他48張牌中任選三張牌。
　　　　1,872 → 葫蘆的樣本點數。
　●Ｐ（Ｈ）＝{(13C1 x 4C2 x 48C3]–123,552–1,872}／52C5 ＝ 1／2.12
　　　　所以獲一對的機率比獲兩對高『9.9倍』，比獲三條的機率高『21.5倍』
　　，比獲得非同花順的機率高『120倍』，比獲同花的機率高出『240倍』，比獲
　　得葫蘆的機率高『654倍』，比獲柳丁的機率高『1,961倍』，比獲得同花順的
　　機率高『30,591倍』。

　　　　
以上撲克牌梭哈的玩法的各種組合的機率及計算式列表如表二。

表二）撲克牌梭哈的機率及計算式列表

組合樣本 計　算　式 機　率
總樣本點數 = C(52,2) = 2,598,960　
同花順 C(4,1) * (14-5+1) / C(52,5) 1 / 64,974
四大 [ C(13,1) * C(4,4) ] * C(48,1) / C(52,5) 1 / 4,165
葫　蘆 C(13,2) * C(4,3) * C(4,2) / C(52,5) 1 / 1,388
同　花 [ C(4,1) * C(13,5) - 40 ] / C(52,5) 1 / 509
非同花順 [ 10 * 4 的 5 次方 - 40 ] / C(52,5) 1 / 255
三　條 [ C(13,1) * C(4,3) * C(48,2) - 1872 ] / C(52,5) 1 / 45.8
兩　對 C(13,2) * C(4,2) * C(4,2) * C(44,1) / C(52,5) 1 / 21
一　對 [ C(13,1) * C(4,2)] * C(48,3) - 123552 - 1872 ] / C(52,5) 1 / 2.1

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